学习周报第四周

《量子视角下的智能优化算法综述》周报

伊辛模型：伊辛模型（Ising Model）是统计物理学中一个非常重要的数学模型，主要用于研究磁性材料（特别是铁磁性材料）的行为，特别是相变现象。

注释：

1.自旋（Spin）: 每个晶格点上都有一个自旋，代表原子或分子的磁矩。自旋的方向只能是向上或向下。

晶格点是构成晶体结构的重复单元的几何位置。简而言之理解为坐标点。

磁矩是一个矢量量，通常用符号 μ 表示。它既有大小，也有方向。磁矩的大小表示物体产生磁场的能力，方向表示磁场的方向。

2.相互作用（Interaction）: 相邻的自旋之间存在相互作用。通常认为同向的自旋会降低系统的能量（趋于稳定），而反向的自旋会增加系统的能量。这种相互作用强度用耦合常数 J 来表示。

3.外磁场（External Magnetic Field）: 系统可能还受到外部磁场的影响，外部磁场会倾向于使自旋沿着磁场方向排列。外磁场强度用 H 来表示。

4.温度（Temperature）: 温度是影响系统行为的关键因素。在高温下，热涨落会使自旋随机翻转，破坏有序性；在低温下，自旋倾向于趋于能量最低的有序状态。

5.哈密顿量（Hamiltonian）:哈密顿量是量子力学中描述系统总能量的算符，它包括系统的动能和势能。伊辛模型的能量（哈密顿量）通常表示为：

$E = -J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j - H \sum_i s_i$

si 代表第 i 个自旋的状态（+1 或 −1）。

⟨i,j⟩ 表示对所有相邻自旋对进行求和。

J 是耦合常数，如果 J>0 表示铁磁性（倾向于同向排列），如果 J<0 表示反铁磁性（倾向于反向排列）。

H 是外部磁场强度。

6.相变：相变是指物质从一种相态（如固态、液态、气态）转变为另一种相态的过程。相变通常伴随着物质的微观结构和宏观性质的显著变化。

在伊辛模型中指的是：最常见的是铁磁相变。当温度低于临界温度 T时，系统处于铁磁相，自旋倾向于对齐。当温度高于临界温度 T时，系统处于顺磁相，自旋随机分布。

目前证明二维伊辛模型存在相变。一维和更高维目前无法获得精确解析。

7.在量子计算领域的应用：

1.许多复杂的组合优化问题（如旅行商问题、图着色问题、调度问题、金融建模等）都可以被映射成寻找伊辛模型基态（最低能量状态）的问题。

文章中提到：这意味着只要能找到可以形成 Ising 模型的实际物理系统，就能实现量子退火计算机。

如果量子计算机实现，我们就可以将各种问题用伊辛模型统一起来，一起解决。

2.量子退火是量子计算的一种专门范式，旨在解决优化问题。其基本思想是利用量子力学中的叠加态和量子隧穿效应，帮助系统比经典模拟退火更快地找到能量最低的状态（即优化问题的最优解）。

在量子退火中，系统的哈密顿量，被构建成横向场伊辛模型。

第六部分：

引出：智能优化算法有可能自身就是一个可以被量子力学所描述的过程，即可以用 Schrödinger方程来完整地描述智能优化算法的时间演化过程。

有两个意义：

1.用薛定谔方程描述智能优化算法的优化过程。

2.优化过程可以从物理角度，通过量子系统的演化来理解。

随后通过将优化问题中的目标函数等效为量子势能，从而构建了智能优化算法的量子动力学模型，并阐述了其理论基础和求解思路。

第七部分：

文章指出，从量子动力学的角度看，薛定谔方程下的智能优化算法可以归结为一些基本操作。这暗示了不同算法模型可能都源自这些基本操作。
总结：智能优化算法可能存在一个共同的“骨架”或基本操作集，而量子动力学提供了一个强有力的理论框架来解释这种统一性。

这使我们猜想：当目标函数为黑盒且没有针对目标函数做任何先验估计和假设的情况下，骨架算法可能已是“最优”算法了。

截至2025年6月1日，已经完成《量子视角下的智能优化算法综述》论文阅读，霍普菲尔德网络的代码实现。未来按照以下顺序学习，了解玻尔兹曼机，伊辛模型，自旋玻璃（S-K），MP模型，感知机等概念，在同时完成对下一篇论文的解读。